失業保険の給付をうけるのには前職で雇用保険を入ってないといけないようなことも聞きました。逆に私の知り合いは雇用保険に加入していなかったのに前職が派遣６ヶ月だけで給付を受けてます。教えて下さい。

自己都合退職の場合は退職前２年間に１２ヶ月以上雇用保険被保険者であれば受給資格はあります。
また、会社都合退職では退職前１年間に６ヶ月以上期間があればいいです。
前職で雇用保険に加入していなくてもこの条件があれば受給できます。

今失業保険の待機期間なんですがボイラー技士の2級を勉強しようと思うんですが
何かテキスト代が安くなるとか職安が半分だすとかそんな制度ないですか？

失業保険が三年以上加入していたら通信教育なんかが上限はありますが一割戻ってくるようです。
詳しくはハローワークで聞いてください。受験資格はあるんですか？ないならまず受験資格を得るために講習会に参加しなければなりません。
試験対策は日本ボイラー協会のテキストや問題集が 確実です。お金に余裕があれば試験対策講習会に参加したほうが良いです。

パートで働きはじめて、１年と５ヶ月。雇用保険に入ったのが今年の３／１１から。
県外に引っ越すことになり、パートをやめるのですが雇用保険入って半年で失業手当が
受給できるんでしたっけ？
もしそうなら、あと１ヶ月？２ヶ月？退職日をずらしたほうがいいですか？
夫が転職のため会社を辞め、有給消化後も見つからなければ失業保険の申請に行くのですが
、夫婦で受給できますか？もちろんお互い就職口は積極的にさがしてます。
どうか、教えて下さい。

パートであっても、同所に勤務する一般労働者と同程度の労働時間・労働日数である場合は、ご指摘のとおり6ヶ月間の勤務実績があれば、受給資格者となりますが、一般労働者より労働時間・日数ともに短い場合は、12ヶ月の勤務実績を必要とします。

失業保険の基本手当の計算についてです。
退職前に有給休暇を消化する為１カ月以上会社を休みました。
その後、出勤することなく退職したのですが、有給休暇を取得していた期間（退職直前）分は、給料が極端に少なくなっています。
この給料が少なくなっている期間も基本手当の算出に組み込まれてしまうのでしょうか？
１ケ月ぶん遡って算出することは出来ないのでしょうか？

算出は離職日前６ヶ月間の賃金合計で計算されます、有給休暇で給料がある以上、仕方ないことです。
残業手当分は確実に少ないでしょうね。

離職票に会社が離職日までの給料を記入するので、どうにも出来ません。

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